הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה להנדסת מכונות חוברת תרגילים בדינמיקה 0400 עותק מתוקן חורף תשס "ח 007/008 תוקנה ע"י: פרופ רובין מיילס אבו-סאלח סאמי מחאמיד ראשד סטרוסבצקי יולי חנוכה אליעזר
תשס"ח 007/008 תרגיל בית תרגיל. הפין במערכת מאולץ לנוע במסלול פרבולי שעל גבי הגוף הנח וכן בחריץ שנמצא בתוך המוט המוליך הניצב, כמתואר בציור. המוט נע בכוון x במהירות קצובה של [mm/s] 0. נתון: mm] b. 60= [ דרוש למצוא: א. ביטוי למהירות של הפין P. ביטוי לתאוצה של הפין P. ג. דרוש לחשב את המהירות והתאוצה של הפין כאשר הוא נמצא במרחק 60=x. mm y y = x / b x a = 5e [ mm ], [ mm v = 0e + 5e s ] s ג. תשובה:
תשס"ח 007/008 תרגיל. e ו- v& a = כאשר = & r = ( 4t ) e הנח כי וקטור התאוצה נתון על ידי: + t e קבועים (של מערכת קרטזית עומדת). נתון שהמצב ההתחלתי הוא: = 0 v. t = 0, r = 0, e הם וקטורי בסיס דרוש: א. חשב את וקטור המהירות.v(t) חשב את וקטור המקום.r(t) t r = t 4 t e + e תשובה:. r : (-,4,7) (הערה:המרחק במטרים). נסמן r : (,,) לנקודה e / תרגיל. חלקיק P נע בקו ישר מנקודה וקטור יחידה שכוונו מ- ל- החלקיק נתון על ידי: על ידי ואת המרחק מהנקודה נסמן על ידי s. וקטור המקום של () s = r + se / = x( s) e + x ( s) e + x( s) e x i ( s) e i. r = x i של החלקיק. ( s) P דרוש: א. מצא את הרכיבים הקרטזיים מצא את הקואורדינאטות של נקודה על הקו הצירים (או על המשכו) שהיא הקרובה ביותר לראשית מע. e i ובין ראשית הצירים?? ובין הנקודה ג. מהו המרחק בין הנקודה ד. מהו המרחק בין הנקודה 8m 7 ( 9e + e + e ) 4 תשובה: ד.
תשס"ח 007/008 c תרגיל.4 ניתן לטעון בקירוב טוב כי הגרר האווירודינמי על מכונית פרופורציוני לריבוע מהירותה. התנגדויות חיכוך אחרות מונחות כקבועות, כך שתאוצת המכונית כאשר היא משייטת (ללא מנוע) יכולה להיות מקורבת ע"י, a = c כאשר cv c ו- c ו- c הם קבועים התלויים בצורת המכונית ו- v היא מהירותה. לשם קביעת בוצע הניסוי הבא: המכונית החלה לשייט במהירות 80 קמ"ש. לאחר שעברה מרחק של 00 מטר, נמצא שמהירותה היא 60 קמ"ש. לאחר שעברה 00 מטר נוספים, נמצא שמהירותה היא 6 קמ"ש. דרוש לחשב את המרחק הכולל אותו תעבור המכונית מתחילת שיוטה עד שתיעצר כליל? תשובה : [m].5.5 4
תשס"ח 007/008 תרגיל בית תרגיל. מושכים עגלה על מסלול בעזרת כבל שנכרך סביב תוף בקוטר 750 mm שמסתובב במהירות סיבוב [rpm]. y = x דרוש: 0. המסלול ניתן לתואר ע"י המשוואה 6 א. מצא ביטוי לתאוצה של העגלה כתלות ב-. x חשב את התאוצה של העגלה כאשר היא נמצאת מטר אחד מתחת לנקודה הגבוהה ביותר שלה. x e e y 750 [mm] a =.986 [m/s] x v e + e 8 8 x + 64 תשובות: א. תרגיל. הפין P בין שתי החוליות מאולץ לנוע במוליכים המחורצים אשר יכולים לנוע בזוית ישרה זה לגבי זה. ברגע מסוים המוליך נע בכיוון ימינה (במהירות [m/s] 0. ובתאוצה ] בכיוון למטה (במהירות [m/s] 0.5 ובתאוצה ] m/ [ (0.75. בעוד המוליך נע s m/.(0.5[ דרוש: s א. מצא את רדיוס העקמומיות של מסלול הפין P ברגע הנתון. האם תוכל לחשב גם את קצב השינוי של רדיוס העקמומיות של הפין P באותו רגע. P תשובה: [m] ρ =.5 5
תשס"ח 007/008 תרגיל.. y = 4x חלקיק נע על הענף החיובי של מסלול המתואר ע"י המשוואה הדרך שעובר החלקיק לאורך, ו- t נמדד ( t) t המסלול נתונה כפונקציה של הזמן ע"י = s x,.(y נמדדים ב,mm והם פונקציה גם של s ב- x = 0.(sec עבור = 0.t דרוש: א. מצא את רדיוס העקמומיות של המסלול בנקודה בה ימצא החלקיק אחרי שנייה אחת. מצא את התאוצה באותו רגע. a =.095e +. 99 e ρ =7.84 תשובה : א. mm] [ y(x).y = דרוש: e e תרגיל.4 חלקיק נע בקצב קבוע b במישור לאורך העקום הכללי המוגדר על ידי א. כתוב את וקטור המקום r של החלקיק כפונקציה של x. נגדיר את s כפרמטר של אורך הקשת, ובהנחה ש- x(s) x, = חשב את. dr/ds. dx / ds e הוא וקטור יחידה, ובהנחה כי 0 t נזכור כי ג. = dr / ds ds / dx = + ( dy / dx) הראה כי ד. ה. dr dr dx ds השתמש בחוק השרשרת = = v וחשב את וקטור המהירות כפונקציה של x. dt dx ds dt.a ו. חשב באופן דומה את וקטור התאוצה s&. a = & s et + e ρ n נזכור כי ובהסתמך על התוצאות לעיל, הראה שרדיוס העקמומיות של עקום מישורי. ρ = ( ( ) ) + dy / dx כללי (x) y = y נתון ע"י / d y / dx ( d y / dx 0 ז. מצא ביטוי עבור e. n (הנח 6
תשס"ח 007/008 תרגיל בית תרגיל. החלקיק P נע על עקום מרחבי. ברגע מסוים המהירות היא [m/s]. v = 4e + e הערך המוחלט של וקטור e p a o a = 0 m/s וכוונו מוטה בזוית 0 ביחס למהירות. דרוש: v 0 התאוצה הוא א. קבע את רכיבי התאוצה בכוון המסלול ובניצב לו. קבע את רדיוס העקמומיות של המסלול באותה נקודה. e e ρ = 5m a t = 8.66m / s תשובות: א. תרגיל. החלקיק P נע על עקום מרחבי כך שרכיבי המיקום במערכת קרטזית נתונים ע"י המשוואות הבאות: x = 60cosω t נמדדים במ"מ, t בשניות ו-.ω= rad/s דרוש:, y = 40sinω t, z = 0t. ( e t, e n )t = 4 [s] א. תאר את מסלול החלקיק. קבע את וקטורי היחידה שבכווני המשיק והניצב בזמן ג. קבע את המהירות של החלקיק בזמן [s] t. = 4.t = 4 [s].t = 4 [s] ד. קבע את התאוצה של החלקיק בזמן ה. קבע את רדיוס העקמומיות ρ בזמן תשובות: e 0 e e e e e e + e t =.44 0.04 + 0.896 ; n = 0. 0.99 0. 5 a = 4.9e ד. 58.e + 60e v = 8.7e e + e.64 40 ρ = 40.45mm ג. ה. 7
תשס"ח 007/008 תרגיל. חלקיק נע לאורך גליל צילינדרי,כמתואר בציור..בעוברו את נקודה, גודל התאוצה מגיעה לערך של 0 e & m 0 ] [m/s ומגביר את מהירותו, בקו המסלול, בקצב של ] [m/s 8. דרוש : א. מהירותו - v. מהירותו הזוויתית - &.. & ג. התאוצה הזוויתית -. a z ד. התאוצה - a = z 4m / s & = v = e ג. + tg(0) e z תשובות: א. ד. תרגיל.4 פיקה מסוימת ניתנת לתאור ע"י המשוואה: r = b ccosβ כאשר הזווית β נמדדת בין המוט המחורץ לבין e r הקו O הצמוד לפיקה. הציר שבכיוון של המערכת הפולרית תמיד הוא צמוד למוט המחורץ. כדור קטן נמצא בחריץ צמוד כל הזמן לשפת הפיקה (ע"י הקפיץ). נתון כי : [mm] b = 00 [mm], c = 75 ותנאי ההתחלה של המערכת הם = 0 β = (הקו O מתלקד עם הציר ( e. דרוש למצוא את רכיבי התאוצה o המוחלטת של הכדור כאשר = 0 β עבור התנאים הבאים: א. הפיקה עומדת והמוט מסתובב כנגד כיוון השעון ב- [rpm] 40. המוט עומד והפיקה מסתובבת כבכיוון השעון ב- [rpm] 0. ג. והפיקה מסתובבת כבכיוון השעון ב- [rpm] 0 והמוט מסתובב כנגד כיוון השעון ב- [rpm] 40. e O e r 40 rpm β e e r a = 0.55e +.e r a = 0.64 e r a =.88e +.0e r [ m / s [ m / s [ m / s ] ] ] תשובות: א. ג. 0 rpm 8
תשס"ח 007/008 ( t) תרגיל.5 צינור חלול D מחובר בציר, המאפשר לו להסתובב בזווית ב מישור האנכי, אל עגלה שנעה במהירות v קבועה על מישור אופקי. חלקיק קטן, שנמצא בנקודה P בתוך הצינור, מחובר לקצה אחד של חוט שאורכו נתונים וידועים. דרוש: () t, S( t), L, הגדלים v O. אשר קצהו השני מחובר לקיר בנקודה L, א. קבע וציין בסכימה את מערכות הצירים בהן תשתמש. מצא את וקטור המהירות המוחלטת v(t) של החלקיק P..P ג. מצא את וקטור התאוצה המוחלטת a(t) של החלקיק.t ברגע P ד. מצא את וקטור המהירות של החלקיק P ביחס לצינור. ה. מצא את התאוצה של החלקיק P ביחס לצינור. e t ו. רשום ביטוי לווקטור יחידה המשיק למסלול התנועה של e P D (t) O v = const. S ( t ) e a P = תשובות : v ( t) = ( S& cos S& ) e ( S& ( l S )& r + sin + ) e ( S& ( l S ) & + S&& cos ) er + ( l S) && S& & S&& sin ) e v = & rel Se r ג. ד. 9
תרגיל בית 4 תשס"ח 007/008 תרגיל 4. צינור כפוף מסתובב בתוך מסבים סביב הציר האנכי O במהירות זוויתית קבועה. חלקיק P שנמצא בתוך הצינור קשור לנקודה קבועה D ע"י חוט שאורכו קבוע. e O φ D e α P S(t), α : const. t = 0 φ(0) = 0, s(0) = 0 נתונים: v P דרוש: א. את המהירות המוחלטת את התאוצה המוחלטת של החלקיק. a P של החלקיק. ג. את מהירות החלקיק ביחס לצינור. ד. את תאוצה החלקיק ביחס לצינור. δ r δt P & φ φ = sin e δ rp δt φ = & φ cos e ג. תשובה : ד. 0
תשס"ח 007/008 תרגיל 4.. a 0 e מעלית מאיצה בכיוון מעלה בתאוצה קבועה v על רצפת המעלית נעה עגלה במהירות קבועה e e, צמודה לשני המוטות ו- D שמחוברים באופן קשיח והזווית בניהם. e מערכת הצירים בכיוון המסגרת של שני מוטות אלו מסתובבת במהירות זוויתית קבועה &. בתוך המסגרת מחליק מוט γ = = 0 e o היא. 90 D כאשר &γ קבועה. E היא נקודת אמצע המוט. עבור t כלשהו דרוש לחשב : א. בזמן = 0 t מהירות המעלית אפס, כמו כן D e v L E γ v E (& γ )( sinγ e cosγ e ) = L & +. v E. v E. a E ג. תשובה: a 0 a c v c תרגיל 4. קרוב לקצה מסלול ההמראה,מהירות ותאוצת מרכז גלגלי המטוס הן: ו- בכוון אופקי. באותו רגע מתחיל המטוס להרים את האף במהירות זוויתית ותאוצה זוויתית ω = & ו-. α = & ω אדם הנמצא במרחק a rel ו- v rel יחסית L(t) מנקודה הולך בשביל המרכזי במטוס לכוון הנקודה במהירות יחסית ותאוצה ביחס למטוס. דרוש: לפתח ביטוי למהירות והתאוצה המוחלטים של אדם. L h.
תשובה: תשס"ח 007/008 ( v cos ) e c ωh + vrel + ( ωl vc sin ) e v = a ( a cos α ω + ) + ( sin ω + α + ) e c h L arel ac h L vrel = ω. D תרגיל 4.4 המוט המכופף זוויתית קבועה מחובר למוט אנכי באמצעות פרק חד צירי הזווית משתנה בקצב קבוע &. חרוז P המוט נע במהירות קבועה על גבי מסתובב במהירות.D דרוש: s&.ψ& e i א. למצוא ביטוי עבור המהירות המוחלטת של החרוז P, ברכיבי מערכת הצירים הצמודה למוט המכופף, עבור כלשהי. עבור הרגע בו = 0, יש לכתוב ביטוי עבור התאוצה המוחלטת של החרוז. Ψ & L D p s ( L & + s& ) + ( sψ& sin Lψ& cos ) e v = & P s + תשובה : א.
תשס"ח 007/008 תרגיל בית 5 e v תרגיל 5. חלקיק נע במהירות קבועה בחריץ שתמיד מקביל לציר והחלקיק תמיד במגע עם הדסקה. הדסקה צמודה לדסקה. הנקודה e i (שרדיוסה ) מסתובבת במהירות זוויתית קבועה > 0 ω, & = מערכת הצירים, e = 0 והחלקיק נמצא על הציר, t בזמן = 0. היא נקודת המגע הרגעי בין הדסקה והחלקיק e x באותו זמן זה החלקיק לא מחליק על הדסקה. א. חשב את גודל המהירות של החלקיק (v) חשב את הקואורדינאטות יחסית למערכת כפונקציה של.b,ω e i של הוקטור x i ( t) אשר מתאר את מסלול הנקודה על הדסקה. ג. חשב את מהירות ההחלקה של החלקיק יחסית לדסקה. ד. חשב את המהירות המוחלטת של נקודת המגע הרגעית. ה. חשב את המהירות היחסית בין הנקודה והנקודה. תשובות: א. v = bω ( cos( ωt) + ωt sin( ωt) ), x ( t) = b( ωt cos( ωt) sin( ω )) x ( t) = b t v e = ωb bω t( cos( ωt) e sin( ωt) e ) [(( cos( ωt) + ωt sin( ωt) ) e ( ( )) ] + sin( ωt) ωt cos( ωt e bω t( cos( ωt) e sin( ωt) e ), ג. ד. ה. y ( t) e e b
תשס"ח 007/008 תרגיל 5. אדם עומד בנקודה על פלטפורמה אופקית סובבת, בעלת רדיוס r. הפלטפורמה מסתובבת במהירות זוויתית π קבועה ω. בזמן = t האדם זורק כדור במהירות u 0 ובזווית α כלשהי יחסית לפלטפורמה. דרוש: ω א. מהן המהירות u 0 והזווית α כך שהכדור יעוף במהירות מוחלטת V, בכיוון? e בהנחה שווקטור המהירות הכדור נשארת קבועה, מהו מסלול הכדור ע"ג הפלטפורמה במערכת i π (הצמודה לפלטפורמה) עבור t? ω e ω t e u 0 α O r e e = π ω = π ω u = 0 V cosα, תשובות : ωr א. = tanα V ( cos( ωt ) e sin( ωt ) e ) x V( t ) r e V( t ) r. λ כדור תרגיל 5. מכונית נוסעת צפונה במהירות קבועה v יחסית לפני כדור הארץ, כשהיא חולפת על פני קו רוחב הארץ, שרדיוסו, מסתובב במהירות זוויתית קבועה p כדור הארץ במרח נתון ש- סביב ציר הקטבים. ניתן להזניח את תנועת מרכז ω = λ & pe + כאשר e e & = ω e i i, Ω = pe e & = Ω e כאשר i דרוש: לבחור אחת משתי המערכות ולחשב את התאוצה המוחלטת של המכונית. i v P e λ e v v תשובה: a = ( - p cos λ ) e sin λe + pv sin λ 4
תשס"ח 007/008 a + + = ( p cos λ v / ) p cos λ sin λ pv sin λ תרגיל 5.4.φ & ו-, & תנועתה של דיסקה נקבעת ע"י שלושה מנועים הסובבים במהירויות זוויתיות קבועות &ψ, נתון " e e, e i שמערכת הצירים צמודה למוט ואיננה מסתובבת עם הדיסקה כך ש- מישור כל הזמן. על היקף הדיסקה נמצאת נקודה ו- נמצאים באותו P במרחק ממרכז הדיסקה. דרוש למצוא את הביטויים e ψ& e P & φ של: א. מהירות ותאוצה (מוחלטות) של מרכז הדיסקה. מהירות ותאוצה של P יחסית ל. ג. מהירות ותאוצה מוחלטות של P. d P φ b תשובה: v p v = & de ( b + d cos ) e ψ& ψ& א. = ψ& cos sinφ ג. & cosφ 5
תשס"ח 007/008 תרגיל בית 6 תרגיל 6., v 0 כאשר הקצה מאולץ לנוע מאולץ לנוע בכוון( ( e, הקצה של החוליה הקשיחה במהירות ω n. e בכיוון יש למצוא את המהירות הזוויתית של החוליה, כאשר היא חולפת על פני המצב הנתון בציור. 700. [mm] ואורך המוט הוא v 0 = 0.m נתון כי - sec / e 600 mm O 00mm 700mm v e 00mm e ω n = 0.49 rad sec ( 0.0e + 0.e + 0.09e ) תשובה: תרגיל 6. המרכז O של דיסקה מעגלית שרדיוסה 0.4, m אשר מתגלגלת ללא החלקה על המישור האופקי, נע ימינה. v דרוש: 0 = 0.m במהירות / s א. מצא את וקטור המהירות של הנקודה P (נק כללית במרחק חצי הרדיוס ממרכז הדיסקה). מצא את וקטור המהירות היחסית של הנקודה ביחס לנקודה. 0.8m e e P O v o / v / ( e e ) m / s = 0. תשובה: 6
ס & φ חוברת תרגילים בדינמיקה תשס"ח 007/008 תרגיל 6. המהירויות הזוויתיות של החוליות ו- D הן: ωd / = 0.5e [ rad /sec] ω/ = 0.5e [ rad /sec] דרוש לחשב את המהירות הזוויתית של החוליה הטלסקופית (במצב הנוכחי) 75 mm 75 mm 50 mm e 00 mm D e ω = 0.4 e תשובה: rad / s תרגיל 6.4. דיסקה עגולה ממוסבת על ציר אופקי שמסתובב במהירות זוויתית קבועה ביב הציר האנכי הדיסקה מתגלגלת ללא החלקה על גבי המישור האופקי. דרך מרכז הדיסקה עובר צינור רדיאלי חלק.DE בתוך הצינור נע חלקיק קטן.P מערכת צירים i היא צמודה לדיסקה. () t היא זווית הצינור. S() הוא t = מרחק החלקיק ממרכז הדיסקה. המהירות הזוויתית של הציר היא: φ. & = 4rad / s רדיוס הדיסקה הוא : 60. cm אורך הקטע האופקי של הציר הוא: L. = 60 cm דרוש: א.מצא את המהירות הזוויתית, ω של הדיסקה. o ב.חשב את ערך המהירות הזוויתית כאשר = 0. ג.בטא את המהירות המוחלטת v של החלקיק ברכיבים של המערכת. i ד.בטא את התאוצה המוחלטת a של החלקיק ברכיבים של המערכת. i 7
תשס"ח 007/008 D S(t) e P E e e. φ e, e L v P = ω = & φ e & & & sin תשובות: א. & φ " + e = φ cos e φ e e 0 0 ω = e e 4e = ( S & & sin ) e + ( & cos & S ) e & φs sin e ג. O תרגיל 6.5 הגלגל במערכת מתגלגל ללא החלקה על המישור האופקי. ברגע מסוים, כאשר מרכז הגלגל מתחת לנקודה,מהירות הנקודה O היא [m/s] v =.5 בכוון ימין והפין P נמצא בזוית עובר בדיוק כמתואר o = 0 בסכימה. דרוש לחשב את גודל המהירות הזוויתית של המוט המחורץ. O P 00 mm 00 mm rad ω = 8. sec תשובה : 8
תשס"ח 007/008 חוברת תרגילים בדינמיקה תרגיל בית 7 תרגיל 7. ברגע נתון,הזרוע המעוגלת סובבת בניגוד לכיוון השעון סביב ציר O במהירות זוויתית של [rad/s].ברגע המחובר לזרוע, לבין האנך). הזיז O היא הזווית בין משיק העקום β ) = 0 הנתון: = 45 β ; עובר במסילה של הזרוע המעוגלת. דרוש: למצוא את וקטור המהירות של הנקודה. 80mm β 0mm E 0mm e e rad / s O v [ m s] =.4 e.9 e / תשובה : תרגיל 7. אנכי בסכימה מתואר מתקן לאמון אסטרונאוטים. תוף ממוסב על ציר אופקי במסגרת אשר מסתובבת סביב ציר β. בתוך התוף נמצא תא האימון אשר במהירות זוויתית. Ω זווית ציר התוף ביחס לאופק היא e במהירות זוויתית &ψ יחסית לתוף. בניסוי מסוים נמדדו הגדלים מסתובב סביב הציר s,. β = 0, & β = 0.9 rad / באותו רגע זה נתון גם ש: Ω = 0. rad / s, ψ& הבאים: = 0.9 rad / s &Ω && ψ = && β =. דרוש: לקבוע את ווקטורי המהירות הזוויתית ω ואת התאוצה הזוויתית &ω של תא = 0 Ω e ψ& β e e האימון. [ rad/s ], ω = 0.8e + 0.8e 0. e [ ] = 0 & rad/s ω.9e + 0.e + 0.9e 8 תשובה: 9
תשס"ח 007/008 = 00 m. מקדם החיכוך הוא kg m = 0 kg תרגיל 7. נתונה מערכת בה שתי מסות, המסה העליונה והמסה התחתונה המסה התחתונה נעה על גלגלים חסרי חיכוך וחסרי מסה. למסה העליונה בין שתי המסות = 0.5 µ. מחוברת גלגלת (חסרת חיכוך) שסביבה מלופף חוט המחובר בקצה אחד לקיר ובקצה השני פועל כוח P כפי. P = 60 N. P כנגד הכוח ו שניתן לראות בציור. דרוש:. שרטט על אותו גרף את התאוצות של המסות. קבע את גודל התאוצות של כל אחת מהמסות עבור שני המקרים הבאים: א. P = 40 N P g 0 kg 00 kg a =.095 m / s, a = 0.98 m / s a = a = 0.67 m / s תשובות: א. תרגיל 7.4. L = 0.5 m המסות נעות בתוך מסילות חסרות המסות ו- מחוברות עי מוט קשיח שאורכו x = 0. 4 m חיכוך וניתן להזניח את כוח הכובד. ידוע שכאשר המסה נמצאת במרחק כפי שמתואר T = 46.59 N v = 0.9 m / s ימינה. דרוש לחשב: a =.64 m / s בציור מהירותה הייתה א. את התאוצה של כל אחת משתי מהמסות.., a את כוח המתיחה T במוט = 9. m / s תשובות: א. kg 0.5 m kg P = 40 [N] x 0
תשס"ח 007/008 תרגיל בית 8 תרגיל 8. מנוע מסובב ציר אנכי מסובב את המוט במהירות זוויתית קבועה & φ. בנקודה מחובר לציר, מנוע נוסף אשר.m במהירות זוויתית קבועה &. בנקודה מחוברת מסה נקודתית המידות הגיאומטריות מפורטות בציור. מערכת e i צמודה לציר הסיבוב. דרוש: א. מצא את וקטור התאוצה של מסה. m מהו הכוח שמפעיל המוט על המסה m. ג. מהו ווקטור כוח הגזירה שמפעילה המסה על המוט. φ & g e e L L m תשובות: cos א. e [ & sin e + & φ& sin e ( & + & φ ) ] F = m( a g ) a = L L e
תשס"ח 007/008 תרגיל 8. מסה בת 0 kg יכולה להחליק ללא חיכוך לאורך מוט אנכי. למסה מחוברים שני קפיצים זהים ובעלי אותו קבוע קפיץ k = 800N / m ואורך חופשי 0.. m במצב ההתחלתי היו הקפיצים במצב אופקי באורך 0.4 m 0.4m 0.4m ומהירות המסה כלפי מטה הייתה: = v. דרוש:.0 [ m / s] א. קבע את המרחק המכסימלי אליו תגיע המסה. מהי מהירות המסה ברגע שהיא עוברת את חצי המרחק. תשובות: א. 0.45m.46 m / s g 0kg תרגיל 8. על חרוז בעל מסה m 0= kg מופעל כוח קבוע P = 50N ע"י חוט העובר דרך גלגלת קטנה חסרת חיכוך, כפי שמתואר בציור. החרוז נע מנקודה בה הוא נמצא במצב מנוחה עד לנקודה על גבי מסלול רבע מעגלי ללא חיכוך. מנקודה הכוח P מפסיק לפעול והחרוז נע על גבי מסלול אופקי עם מקדם חיכוך 0.5= µ עד לנקודה. בנקודה החרוז מתנגש ונדבק לקפיץ חסר מסה בעל קשיחות k. נתון שרדיוס המסלול המעגלי. a =. 4m הוא: א. חשב את עבודת הכוח P ממצב למצב. מצא את מהירות החרוז בנקודה. ג. חשב את עבודת כוח החיכוך ממצב למצב. מצא k עבורו ההתכווצות המקסימלית של הקפיץ היא. δ max = 0cm k 0.5a a g P 4a a
תשס"ח 007/008 א. תשובות: W P = 600 J v = 8.54 m / s ג. Wµ = 5 J ד. k =. kn / m תרגיל 8.4 נתונה קערה פרבולית אשר מתוארת עי הפונקציה.D =.0 [m] קוטר הקערה בקצה העליון הוא. z = 4r פני המשטח של הקערה חלקים וחסרי חיכוך. חלקיק קטן שמסתו kg נזרק בכוון אופקי לחלק העליון של הקערה במהירות [m/s]. דרוש: א. לחשב את מהירות החלקיק כאשר הוא עובר בנקודה P אשר נמצאת בגובה מטר אחד מהבסיס. מה תהיה זווית הנטייה של וקטור המהירות ביחס למישור האופקי בנקודה P. ג. מהו הכוח שמפעיל החלקיק על הקערה בנקודה P. ד. רשום משוואה שממנה אפשר למצוא את משך הזמן עד שהחלקיק יגיע לנקודה P. D = m h = 4 m P r [m] z F = 75.86 N o א. תשובות: v = 8.66 m s = ±4.65 α ג.
תרגיל בית 9 תשס"ח 007/008 תרגיל 9. ו- מסה נקודתית m מחוברת לקצה של חוט שאורכו l וקצהו השני מקובע אל נקודה שנמצאת בראשו של העמוד האנכי הקבוע. ברגע = 0 t לו מהירות התחלתית אופקית שגודלה & ( 0 ) = 0 והחוט נטוי בזווית ( 0) = 0 v 0 (בכיוון ביחס לאנך. ברגע זה נותנים e ). כתוצאה מכך מתחילה תנועה של המסה. הזויות φ מוגדרות בציור. בפתרון יש להשתמש במערכות הצירים כפי שמוגדרות בציור. נמצאים במישור אנכי שמסתובב במהירות זוויתית ( e, ) e ), e ( ו- e &.φ דרוש: φ & e א. האם נשמר התנע הקווי בכיוון? e? האם נשמר התנע הזוויתי ביחס ל- בכיוון? e ג. האם נשמר התנע הזוויתי ביחס ל- בכיוון ד. האם החוט מבצע עבודה על המסה?? e ה. מהו התנע הזוויתי ביחס ל- בכיוון ו. מהי האנרגיה הקינטית של החלקיק? ז. מהו הביטוי עבור φ &? ח. מהו הביטוי עבור &? ט. מהי תאוצת המסה בכיוון י. מהי המתיחות בחוט?? e l g m 4
תשס"ח 007/008 תרגיל 9. חלקיק kg) m) = קשור לקפיץ N/m) k) = 0 נמצא בתוך משפך קוני חסר חיכוך שרדיוס בסיסו t הקפיץ רפוי כאשר החלקיק נמצא בתחתית הקונוס. בזמן = 0 Y. = 5m ואורך קו היוצר m = x 0 נמצא במרחק = 4m מהקצה התחתון של הקונוס v 0 ומהירותו = m / s א. רשום משוואה ממנה אפשר למצוא את מרחק החלקיק כפונקציה של הזמן,.x(t) מצא את המרחק המינימלי מתחתית הקונוס אליו יגיע החלקיק. ג. מה תהיה מהירות החלקיק במרחק המינימלי? בכוון היקפי. דרוש: החלקיק m Y תשובות: g=0m/s x x& + x 6x 5x א. = 0 L k x min = 0. 7m v max = 7. 4 [m/s] ג. תרגיל 9. r 0 מונחת ללא תנועה על שולחן אופקי חסר חיכוך, קשורה ע"י קפיץ בעל מקדם k ואורך חופשי מסה m v 0, r 0 לנקודה קבועה O. ברגע = 0 t אורך הקפיץ הוא מקנים למסה מהירות בכוון ניצב לקפיץ. דרוש: א. האם התנע הקווי, התנע הזוויתי והאנרגיה הכוללת נשמרים? תאר במילים את התנהגות המסה עם הזמן. O k V 0 5
תשס"ח 007/008 תרגיל 9.4 עגלה שמסתה M נעה על מסילה. על העגלה מורכב מוט אופקי שמסתו זניחה ואורכו. המוט מורכב על ציר חסר חיכוך כך שהוא חופשי להסתובב סביב ציר אנכי. לקצה של המוט מחוברת מסה נקודתית m, ( 0) = מהירות העגלה, x &(0) = v ניתן להזניח חיכוך בין העגלה למסילה. והמהירות הזוויתית של המוט תנאי התחלה: מקום המוט 0 (0)&. הערה: מפני שלא מופעל מומנט בנקודה, ומפני שהמוט חסר = ω 0 מסה ורק יכול להעביר כוח צירי בין ל-, ניתן להתייחס למערכת כמערכת חלקיקים. את התוצאות יש,.ω 0, M, דרוש לחשב את: v, לרשום בעזרת הנתונים: m א. מהירות העגלה כאשר? = π המהירות הזוויתית של המוט כאשר? = π ג. המהירות הזוויתית המכסימלית והמינימלית של המוט? ד. המהירות המכסימלית והמינימלית של העגלה? m M m M & M + m max = ω0 ; & min = ω0 M ג. ω0m x& max = v + ; M ( M + m) ( = π) ω0 & = x& min = v ω m 0 M ( M + m) א. ( = π) v v תשובות: = ד. 6
תשס"ח 007/008 תרגיל בית 0 תרגיל 0. בבדיקת כדורי טניס פוסלים כדור אם מתברר שהוא איננו קופץ חזרה לפחות לגובה המותניים כאשר הוא משוחרר מגובה הכתף. יש להניח שהגבהים הם כפי שמתואר בציור. דרוש: א.מהו מקדם התקומה המינימלי כדי שהכדור לא יפסל. ב.מה יהיה הפסד האנרגיה המכסימלי של כדור שלא נפסל (באחוזים). תשובות: א. = 0.89 e % 600 mm 00 mm תרגיל 0. חלקיק שמסתו m נע במהירות קבועה v על מישור אופקי חסר חיכוך. החלקיק מתנגש חזיתית במקדם תקומה e, בחלקיק בעל אותה מסה m שנמצא באותו מישור. החלקיק קשור לקפיץ שקשיחותו k אשר אורכו החופשי הוא L וקצהו השני קבוע בנקודה O שנמצאת באותו מישור. ברגע ההתנגשות החלקיק במנוחה, o הקפיץ רפוי ונתון ש- = 45 α. דרוש: א. מצא משוואה שממנה ניתן למצוא את המרחק המכסימלי של מנקודה O. מה תהיה מהירותו של חלקיק כאשר המרחק הוא מכסימלי? תשובות: א. 4k m [ L ( + e) vcosα ] + r ( r L) = ( + e) v r v = 4 L ( + e) r v max cos α e O L α Α v 7 Β
תשס"ח 007/008 תרגיל 0. m באמצעות חוט שאורכו m קשורה אל. l מסה m תלויה בתקרה על ידי חוט שאורכו מסה נקודתית m (ראה 0.6 מ- l m ליפול חופשית בהשפעת הגרביטציה מנקודה המרוחקת בשיעור. l נותנים ל-, l מתפתח בשני החוטים כוח מתיחה פתאומי t 0 בו מרוחקות המסות בשיעור ציור). ברגע ). cos α =,0.8 sinα דרוש למצא את המהירות של כל אחת משתי המסות מייד לאחר = 0.6 ) "ההתנגשות". l g l α m. v = v m = 5m + 9m g l [ m e + ( 9m + m ) e ] g l 5m תשובה: cosα cosα + 9m m 0.6l, = תרגיל 0.4 m, m = m m = מונחים על מישור אופקי חלק. שלושה חלקיקים שמסתם: m m L ואורך חפשי k קשורים ביניהם ע"י קפיץ ליניארי בעל קשיחות m m ו- במנוחה כפי שמתואר בציור והקפיץ במצב רפוי. ברגע = 0 t פוגע חלקיק המסות בחלקיק שני החלקיקים ו- m נמצאות,v במהירות m m m m הוא.e דרוש: m ו-. m מקדם התקומה בהתנגשות בין המסות m ו- בניצב לקו המחבר את א. מהי המהירות של כל אחד מהחלקיקים מיד לאחר ההתנגשות? x(t) ברגע כלשהו לאחר ההתנגשות כתלות ב- m m ו- מהי המהירות הזוויתית של הקו המחבר את שהוא המרחק בין המסות. ג. יש לכתוב משוואה דיפרנציאלית עבור x, ממנה ניתן למצוא את x. m k L m m v v תשובות: e = ( + e)v, v = 0, v א. = v 4 4 & L = ( + e) v 4 x v m m k m = x& + x & + ( x L) ג. 8
תשס"ח 007/008 תרגיל בית תרגיל. t = 0. לחוט נתון מוט אחיד באורך L ומסה m מחובר בקצה לפרק חסר חיכוך ובקצה ברגע. & ( 0) = 0, (0) = 0 מנתקים את החוט.נתון שתנאי ההתחלה הם: דרוש: (t) = (לא לפתור). א. לרשום את המשוואה הדיפרנציאלית שבעזרתה ניתן לחשב את לחשב את המהירות הזוויתית & כפונקציה של. ג. למצוא את כוח הריאקציות בפרק. g g L & = 0 ( cos cos תשובה: ) תרגיל. P פועל כוח גליל (מסה m, רדיוס ) מתגלגל על מישור אופקי. מקדם החיכוך הוא. µ על מרכז הגליל.& ( 0) = ω > 0 = 0) ( ו- 0 0, x& ( 0) = ω 0, x( 0) = 0 קבוע בכוון. e נתון כי תנאי ההתחלה הם:,(t ( ואת גודל וכיוון כוח החיכוך בין הגליל ורצפה עבור התנאים הבאים: x( דרוש לחשב את (t. P = 0. P = µmg א. e e g &, & P P m P = 4µmg () t = t ω t, () t = t + ω t x 0 0 x ג. תשובות: P א ו- ב : m µ g = µ gt ω0t ג., t = t + ω () t () 0 9
תשס"ח 007/008 תרגיל. משליכים כדור באולינג בעל רדיוס ומסה m על הקרקע במהירות אופקית. v 0 נתון כי מקדם החיכוך בין S דרוש לחשב את המרחק. ( 0) = = 0) ( & ו- 0 הכדור והקרקע הוא µ ותנאי ההתחלה הם 0 שיעבור הכדור עד שתפסק ההחלקה בינו לבין הקרקע ויתחיל גלגול טהור. v 0. S = 49µ g תשובה: תרגיל.4 ( r (רדיוס () (), m עקב תלית המשקולת מאיץ הגלגל שמאלה. כולל חישוק הגלגל (r (רדיוס ותוף m שמסתם המשותפת היא. I והאינרציה המשותפת ביחס למרכזו היא כבל מלופף על התוף ומתחבר m אופקית אל הגלגלת () (שיש לה מסה ואינרציה I ).ידוע שאין החלקה בין הכבל לבין הגלגלת (), אין חיכוך בפרק וגם ידוע שמקדם החיכוך בין הרצפה לגלגל () הוא. µ m r r m m דרוש: א. בהנחה ש- () מתגלגל על המישור האופקי ללא החלקה, עבור הנתונים הבאים יש להראות שגליל () מחליק. מהי תאוצת המשקולת ()? µ = 0., I = 6mr, I = mr, m = m, m = m /, r = r, r r = 0
תשס"ח 007/008 ג.. m עבור הנתונים הנ"ל יש למצוא את תאוצת המשקולת
תשס"ח 007/008 תרגיל בית תרגיל. m גליל בעל מסה ורדיוס. m מונח על גבי תיבה שמסתה מערכת זו נמצאת במנוחה עד אשר ברגע m, m הנעה במהירות v, פוגעת בתיבה מסה ונדבקת אליה (התנגשות פלסטית). כמתואר בציור. t = 0 דרוש: א. בהנחה שאין חיכוך בין התיבה והגליל מיד לאחר ההתנגשות? (0= µ), מהן המהירויות של התיבה ושל מרכז הגליל (נקודה ) בהנחה שקיימת החלקה בין הגליל m והתיבה m בזמן ההתנגשות (0< µ), מהן המהירויות של התיבה ושל מרכז הגליל (נקודה ) מיד לאחר ההתנגשות? ג. בהמשך לסעיף ב (קיימת החלקה בין התיבה והגליל), חשב את הזמן שעובר עד אשר ההחלקה בין הגליל והתיבה תיפסק ויתחיל גלגול טהור? ד. בהנחה שקיימים גלגלי שינים בין הגליל והתיבה ( = µ), מהן המהירויות של התיבה ושל מרכז הגליל מיד לאחר ההתנגשות? m µ m v m mv0 v = m + m v v0 = m + תשובות: mv0 ג. = t µ g( m + m + m ) mv0 ω= e [ m + m + m ] ד. ˆ mmv = 0 e m + m + m ( m + m ) ( ) ( m + m ) ( ) e e
תשס"ח 007/008 תרגיל. דיסקה מלאה בעלת מסה m ורדיוס b נמצאת במגע עם מסגרת קשיחה הסובבת על מישור אופקי חלק. מקדם b החיכוך בין הדסקה לבין המסגרת הוא. µ קצה אחד של מיתר (בלתי מתארך) באורך מחובר למרכז הדסקה, וקצהו השני מחובר למסגרת בנקודה כמתואר בצויר. בהתחלה (0= t) נמצאות המסגרת והדסקה במנוחה כאשר = 0, ואז מתחילה המסגרת להסתובב בתאוצה זוויתית קבועה.( & = p ) נתון שהכוח המרבי שהמיתר יכול לשאת הוא מומנט האינרציה של דסקה מלאה סביב מרכז המסה שלה.T. I = mb / הזנח את כוח הכובד. דרוש: א. בהנחה ש- = 0 µ. מהי המהירות הזוויתית של הדיסקה?. מהי המתיחות בחוט?. מהי המהירות הזוויתית של המסגרת ברגע שהדיסקה נמצאת על סף ניתוק מהמסגרת? מהו מקדם החיכוך המירבי ) cr µ) שעבורו הדיסקה תחליק על המסגרת מייד בתחילת התנועה.? ( t = 0), µ > µ cr מהי המהירות הזוויתית של המסגרת ברגע שהדיסקה נמצאת על סף החלקה? ג. בהנחה ש- ד. אם הדיסקה לא מחליקה כלל על המסגרת:? ( t = 0). מהי האנרגיה הקינטית של הדיסקה?. מהו התנע הזוויתי של הדיסקה סביב הנקודה הנייחת O?. מהי התאוצה הזוויתית המינימלית של המסגרת, שעבורה יקרע המיתר מייד עם תחילת התנועה b b m µ O
תשס"ח 007/008 תרגיל.. ורדיוסו m בציור מתואר גליל שמסתו הגליל מונח על מישור אופקי ומקדם החיכוך ביניהם הוא. µ על הגליל מלופף חוט שמצדו השני תלויה משקולת. m החוט עובר דרכך גלגלת חסרת מסה וגם חיכוך. החוט מושך את הגליל לכוון קיר אנכי חלק (חסר חיכוך). במרחק L = 4 מהקיר. מקדם התקומה בין הגליל לבין הקיר הוא 0.5 = משחררים את המערכת ממצב מנוחה כשהגליל נמצא. e דרוש: m µ L = 4 m א. אם הגליל לא מחליק מצא את התאוצה של מרכז הגליל מייד לאחר שחרור המערכת. מהו מקדם החיכוך המינימלי שמבטיח גלגול ללא החלקה. ג. מצא את המהירות של מרכז הגליל מיד לפני ההתנגשות בקיר (בהנחה של גלגול טהור). ד. מצא את המהירות של מרכז הגליל מיד אחרי ההתנגשות בקיר. ה. מצא את המהירות הזוויתית של הגליל מיד לאחר ההתנגשות בקיר. ו. האם יש החלקה בין הגליל והמישור האופקי מיד לאחר ההתנגשות. ענה "כן" או "לא" ונמק את תשובתך. תרגיל.4 מניחים דסקה בעלת רדיוס ומסה m למישור הוא. µ תניח שהמערכת מתחילה ממנוחה. דרוש: על משור משופע בזוית α כמשורטט. מקדם החיכוך בין הדסקה א. עבור המקרה בו µ חשב את תאוצת מרכז המסה ואת כוח החיכוך מייד לאחר השחרור. חשב מהו מקדם החיכוך המינימאלי עבורו לא תתרחש החלקה. ג. פתור את משואות התנועה עבור המקרה בתחתית המישור. µ = 0 ומצא את מהירותו ותאוצתו הקווית והזוויתית של הגליל 4
תשס"ח 007/008 x h m α חוברת תרגילים בדינמיקה תשס"ח 007/008 5
תרגיל בית תרגיל. דיסקה דקה, שרדיוסה, = 0.4 m ומסתה m = kg מתגלגלת ללא החלקה על מישור אופקי בזוית נטייה.α מרכז הדיסקה נע במסלול מעגלי שרדיוסו b = 0.6 m במהירות sec] v =.54 [ m / קבועה בכוון e e e. המערכות e i e ו- i מסתובבות כך שהמישור נשאר אנכי ומתלכד עם המישור. e e g e α e b e e מרכז הדסקה נשאר במישור e. דרוש: e א. באיזו זווית נטייה יכולה התנועה הזאת להתקיים?. מצא את הכוח שמפעילה הרצפה על הדיסקה. o α = 56.0 א. תשובות : תרגיל. אל ציר (באורך L), שממוסב בשני מסבים קבועים ו-, מרותכות שלוש דיסקות דקות ואחידות (לכל אחת מסה m ורדיוס ) כמתואר בציור בעמוד הבא. שתי דיסקות מרותכות על הציר בשני קצותיו כך שהציר ניצב למישור הדיסקות. הדיסקה השלישית מרותכת לציר בנקודת האמצע, כך שהזווית בין הציר האופקי והקו שמשיק לדיסקה היא. β הציר מסתובב במהירות זוויתית קבועה ω בכוון המסבים ו- נמצא בבית כדורי שמונע ממנו להעביר מומנטים כלשהם. דרוש: א. מהוא וקטור התנע הזוויתי e. כל אחד משני H של המערכת סביב נקודה?. מצא את הכוחות הניצבים לציר שפועלים בנקודות ו- m m ו ע"י ג. רוצים לאפס את הכוחות שפועלים בנקודות חבור מסה להיקף הדיסקה ומסה φ φ m m להיקף הדיסקה. מצא את גודל המסות ו- והזוויות ו- בהן יש לחברן. חוברת תרגילים בדינמיקה תשס"ח 007/008 6
β e m e e ω φ e e m φ e L L מבט על מבט על = 0 = 0,, m ω mg = sin β cosβ + 8L m ω mg = sin β cos β + 8L תשובות: φ = π, φ = π ג. m m = m = sin β cos β 8L ומסה m, וממוט דק באורך L ומסה m, המחובר למרכז הדיסקה תרגיל. גוף קשיח מורכב מדיסקה דקה ברדיוס וניצב לה. הגוף נמצא במנוחה על רצפה (ראה ציור). ברגע = 0 t מקנים לנקודה D (מרכז הדיסקה) מהירות בכוון ניצב לדף. נתון: אין החלקה בכל נקודות המגע של הגוף עם המשטח שמתחתיו. מערכת צירים למוט צמודה D וסובבת במהירות זוויתית & Ψ, בזווית נטייה למערכת ביחס { i שהיא גם } α v 0 { e } מסתובבת במהירות זוויתית א. המהירות והתאוצה הזוויתית וω & Ψ. כתוב בטויים עבור הגדלים הבאים: t)- ω& ( של הגוף. ( t) הכוחות שמפעילה הקרקע על הגוף בנקודות המגע. i e D L e חוברת תרגילים בדינמיקה תשס"ח 007/008 7
v0 v0 ω =, ω& = Lsinα L cosα sinα תשובה : א. תרגיל.4 pt). y = cos( כמו כן התנודה אוניה מתנדנדת במישור אנכי כך שהתזוזה האנכית של הנקודה היא הזוויתית ("עלה ורד") היא pt). = sin( באוניה יש טורבינה. מומנטי האינרציה של הרוטור ביחס ל-, I p רחבי פולארי. I t מהירות הסיבוב של הטורבינה במסבים היא n. הנקודה ומרכז המסה G של : הרוטור נמצאים על ציר הסיבו יש גרוויטציה. כל אחד משני המסבים ו- נמצא בבית כדורי שמונע ממנו להעביר מומנטים כלשהם. מסב יכול להפעיל כוח בכוון ציר הטורבינה ומסב לא יכול להפעיל e i כוח בכוון זה. דרוש למצוא את רכיבי הכוחות שמפעילים המסבים על הטורבינה במערכת הצמודה לאוניה. b e e G g y(t) e e O e m = 00kg ; I p = 5kg m ; I t = 0kg m ; נתונים: b = 0. 8m m ; n = 0000rpm ; = m ; = 0.rad ; p = rad / s 8
תשס"ח 007/008 = && p b = && b ( I + me ) + mg cos + && y cos && e ( e + && y) mg cos + && e ( I + me ) + mg cos + && y cos && e + ( e + && y) mg cos && e p תשובות : 9